Voici une question de l'un(e) d'entre vous :
Par rapport à l'exercice 1, question 1,c : selon les calculs des questions précédentes, on peut remarquer que
$z_3=z_0$
$z_4=z_1$
$z_5=z_2$
$z_6=z_3$
Donc je me demandais pourquoi nous sommes sensés faire une conjecture puis un raisonnement par récurrence avec $z_{3n}=z_n$, alors qu'on constate plutôt que $z_{n+3}=z_n$ …
J'ai recopié le raisonnement par récurrence que vous aviez écris au tableau mais je ne comprends pas …
Voici ma réponse :
Les deux sont vraies : $z_{3n}=z_0$ (et non $z_{3n}=z_n$...) et $z_{n+3}=z_n$.
Mais la première permet de répondre à la question suivante !
J'imagine que le souci vient de l'hérédité.
$\mathcal{P}_n$ correspond à $z_{3n}=z_0$.
Donc $\mathcal{P}_{n+1}$ correspond à $z_{3(n+1)}=z_0$, c'est-à-dire $z_{3n+3}=z_0$.
Mais la définition de la suite ne permet pas de passer de $z_{3n} à z_{3n+3}$ directement.
Aussi, on y va par étape :
on passe de $z_{3n}$ à $z_{3n+1}$,
puis de $z_{3n+1}$ à $z_{3n+2}$,
et enfin de $z_{3n+2}$ à $z_{3n+3}$.
$z_3=z_0$
$z_4=z_1$
$z_5=z_2$
$z_6=z_3$
Donc je me demandais pourquoi nous sommes sensés faire une conjecture puis un raisonnement par récurrence avec $z_{3n}=z_n$, alors qu'on constate plutôt que $z_{n+3}=z_n$ …
J'ai recopié le raisonnement par récurrence que vous aviez écris au tableau mais je ne comprends pas …
Voici ma réponse :
Les deux sont vraies : $z_{3n}=z_0$ (et non $z_{3n}=z_n$...) et $z_{n+3}=z_n$.
Mais la première permet de répondre à la question suivante !
J'imagine que le souci vient de l'hérédité.
$\mathcal{P}_n$ correspond à $z_{3n}=z_0$.
Donc $\mathcal{P}_{n+1}$ correspond à $z_{3(n+1)}=z_0$, c'est-à-dire $z_{3n+3}=z_0$.
Mais la définition de la suite ne permet pas de passer de $z_{3n} à z_{3n+3}$ directement.
Aussi, on y va par étape :
on passe de $z_{3n}$ à $z_{3n+1}$,
puis de $z_{3n+1}$ à $z_{3n+2}$,
et enfin de $z_{3n+2}$ à $z_{3n+3}$.