1) Voici une question concernant le DM 2 :
Faut il montrer la relation de récurrence en montrant la récurrence ou bien seulement en expliquant pourquoi ?
Ma réponse :
Pas de récurrence ici. Essaye d'expliquer cette relation par des phrases.
2) Rappel concernant les "boucles for" dans un algorithme :
Dans les algorithmes de l'exercice 1, j est un "compteur" dans la boucle.
Faut il montrer la relation de récurrence en montrant la récurrence ou bien seulement en expliquant pourquoi ?
Ma réponse :
Pas de récurrence ici. Essaye d'expliquer cette relation par des phrases.
2) Rappel concernant les "boucles for" dans un algorithme :
Dans les algorithmes de l'exercice 1, j est un "compteur" dans la boucle.
Dans le cas "Pour j de 2 jusqu'à n", le compteur démarre à 2, augmente de 1 à chaque tour de boucle pour terminer à n.
Dans le cas "Pour j de 1 jusqu'à n", le compteur démarre à 1, augmente de 1 à chaque tour de boucle pour terminer à n.
En programmation, on appelle cela une "boucle for".
3) Aide concernant l'obtention de l'expression de $u_n$ en fonction $n$ dans l'exercice 2 :
Le plus simple est d'écrire le produit en croix à partir de l'expression de v_n donnée à la question 5.
Ensuite, regroupez les termes $u_n$ ensemble.
Factorisez pour obtenir $...... \times u_n = .........$
Vous obtiendrez ensuite facilement une expression de $u_n$ en fonction de $v_n$. J'appelle cette expression, expression 1.
Comme la suite $(v_n)$ est géométrique, on obtient avec la formule du cours une expression de $v_n$ en fonction de $n$. J'appelle cette expression, expression 2.
Dans l'expression 1, vous remplacez $v_n$ par l'expression 2...et vous avez le résultat.
4) Aide supplémentaire concernant la question 2 de l'exercice 1 :
Le nombre de couples du mois $n+2$ est la somme du nombre de couples qu'il avait au mois $n+1$ (ils ont juste pris un mois de plus ; ce nombre est $u_{n+1}$) et du nombre de couples qui viennent de naître (c'est ce nombre qu'il faut expliciter un peu).
Il faut donc "juste" expliquer pourquoi le nombre de couples qui viennent de naître correspond au nombre de couples présents au moins $n$...
5) Aide pour la question 4. de l'exercice 2.
Je vous ai conseillé, en classe, de traiter les questions 3. et 4. en même temps et de montrer par récurrence "$0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$" .
6) Aide pour la question 6. de l'exercice 2.
Vous devriez trouver quelque chose du type $v_n=\dfrac{-1}{3}\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$.
Comme $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$, on peut écrire le produit en croix qui donne :
$v_n\times (u_n+3)=u_n-1$.
Regroupez tous les termes $u_n$ ensemble...et obtenez une expression de $u_n$ en fonction de $v_n$.
Comme on a $v_n=\dfrac{-1}{3}\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$...on devrez pouvoir répondre à la question.
4) Aide supplémentaire concernant la question 2 de l'exercice 1 :
Le nombre de couples du mois $n+2$ est la somme du nombre de couples qu'il avait au mois $n+1$ (ils ont juste pris un mois de plus ; ce nombre est $u_{n+1}$) et du nombre de couples qui viennent de naître (c'est ce nombre qu'il faut expliciter un peu).
Il faut donc "juste" expliquer pourquoi le nombre de couples qui viennent de naître correspond au nombre de couples présents au moins $n$...
5) Aide pour la question 4. de l'exercice 2.
Je vous ai conseillé, en classe, de traiter les questions 3. et 4. en même temps et de montrer par récurrence "$0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$" .
6) Aide pour la question 6. de l'exercice 2.
Vous devriez trouver quelque chose du type $v_n=\dfrac{-1}{3}\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$.
Comme $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$, on peut écrire le produit en croix qui donne :
$v_n\times (u_n+3)=u_n-1$.
Regroupez tous les termes $u_n$ ensemble...et obtenez une expression de $u_n$ en fonction de $v_n$.
Comme on a $v_n=\dfrac{-1}{3}\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$...on devrez pouvoir répondre à la question.