Question 1. b)
Vous semblez avoir des difficultés à dériver la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=x\text{e}^{\frac{-x^2}{2}}$.
L'expression est donnée sous la forme d'un produit :
$f=u\times v$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\text{e}^{\frac{-x^2}{2}}$.
On obtient donc : $f'=u'v+uv'$.
Pour tout réel $x$, $u'(x)=1$.
Le problème est donc revenu à savoir dériver $v$.
$v$ est de la forme $\text{e}^w$ avec $w(x)=\frac{-x^2}{2}$.
On a donc $v'=w'\times \text{e}^{w}$.
Je vous laisse terminer et recoller les morceaux.
Question 2. a)
Avec une démonstration par récurrence, cela passe "tout seul"...
Question 2. b)
Pour étudier les variations de la suite $(u_n)$, l'étude du signe de $u_{n+1}-u_n$ peut être une bonne idée.
Vous avez donc le signe de $f(u_n)-u_n$ à déterminer.
Or d'après la question précédente, $0\leq u_n\leq 1$, soit $u_n\in [0; 1]$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Mais sur l'intervalle $[0;1]$, $f$ est...concave (voir la question 1).
Donc sa courbe est en-dessous de sa tangente au point d'abscisse 0 par exemple...
Je vous laisse traduire cela avec une inégalité...et recoller les morceaux.
Question 2. c)
Je vous donne un algorithme en langage naturel qui convient :
Je vous laisse le programme Python correspondant (question suivante).
Pour information, la valeur absolue d'un nombre $x$ se note en Python :
$\verb~abs(x)~$